卷四

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    别法以一百乘之七十五除之亦得黄鍾

    黄鍾長七寸九分九釐○九絲七忽六微九纖有奇比黄鍾正律少一分○九毫○二忽三微○有奇

    其二出淮南子書

    晉宋二志及蔡元定所引互有誤字上文已辨之茲不載

    黄鍾位子其數八十一主十一月下生林鍾

    舊法置八十一分為實下生者以五百乘之得四萬○五百分以七百四十九為法除之得五十四分為林鍾餘數在半分已下棄之不用

    林鍾之數五十四主六月上生太蔟

    舊法置五十四分為實上生者以一千乘之得五萬四千分以七百四十九為法除之得七十二分為太蔟餘數在半分以下棄之不用

    太蔟之數七十二主正月下生南呂

    舊法置七十二分為實下生者以五百乘之得三萬六千分以七百四十九為法除之得四十八分為南呂餘數在半分已下棄之不用

    南呂之數四十八主八月上生姑洗

    舊法置四十八分為實上生者以一千乘之得四萬八千分以七百四十九為法除之得六十四分為姑洗餘數在半分已下棄之不用

    姑洗之數六十四主三月下生應鍾

    舊法置六十四分為實下生者以五百乘之得三萬二千分以七百四十九為法除之得四十二分餘數在半分已上收之作四十三分為應鍾

    應鍾之數四十三主十月上生蕤賓

    舊法置四十三分為實上生者以一千乘之得四萬三千分以七百四十九為法除之得五十七分為蕤賓餘數在半分已下棄之不用

    蕤賓之數五十七主五月上生大呂

    舊法置五十七分為實上生者以一千乘之得五萬七千分以七百四十九為法除之得七十六分為大呂餘數在半分已下棄之不用

    大呂之數七十六主十二月下生夷則

    舊法置七十六分為實下生者以五百乘之得三萬八千分以七百四十九為法除之得五十分餘數在半分已上收之作五十一分為夷則

    夷則之數五十一主七月上生夾鍾

    舊法置五十一分為實上生者以一千乘之得五萬一千分以七百四十九為法除之得六十八分為夾鍾餘數在半分已下棄之不用

    夾鍾之數六十八主二月下生無射

    舊法置六十八分為實下生者以五百乘之得三萬四千分以七百四十九為法除之得四十五分為無射餘數在半分已下棄之不用

    無射之數四十五主九月上生仲呂

    舊法置四十五分為實上生者以一千乘之得四萬五千分以七百四十九為法除之得六十分為仲呂餘數在半分已下棄之不用

    仲呂之數六十主四月極不生

    舊法以為極不生者言不復上生黄鍾也

    論曰三分損益往而不返其弊蓋由七五為法法太過而實不及也史記漢書所載律皆三分損益惟淮南子及晉宋書所載此法獨非三分損益蓋與新法頗同其所不同者仲呂不復生黄鍾耳是知新法非自古所未有疑古有之失其傳也若夫半已上收之半已下棄之此理律歷家所共曉故不論焉

    其四出後漢志註引禮運古註

    後漢志註引禮運古註曰宮數八十一黄鍾長九寸九九八十一也三分宮去一生徵徵數五十四林鍾長六寸六九五十四也三分徵益一生商商數七十二太蔟長八寸八九七十二也三分商去一生羽羽數四十八南呂長五寸三分寸之一五九四十五又三分寸之一為四十八也三分羽益一生角角數六十四姑洗長七寸九分寸之一七九六十三又九分寸之一為六十四也三分角去一生變宫三分變宫益一生變徵自此已後則隨月而變所謂還相為宫臣按右一節乃九分為寸之舊法也語簡義精為律學之?要然今本十三經禮記註疏中無此文不可考也朱熹蔡元定皆宗九分為寸之法而不引此為證蓋未之詳考耳

    縱黍八十一分律依舊法算【命作九寸】

    此法有二出周禮註疏者係漢鄭氏算法出性理大全者係宋蔡氏算法二家律實同而算法不同

    其一出周禮註疏

    鄭康成宗劉歆班固之說以六陽律配乾六爻以六隂呂配坤六爻故謂黄鍾為初九林鍾為初六太蔟為九二南呂為六二之類同位象夫妻指初九之與初六也異位象母子指初六之與九二也此係穿鑿今皆不取祗取其算法云

    黄鍾長九寸【每寸九分餘律放此】

    舊法置黄鍾長九寸為實下生者二因得十八寸三歸得六寸為林鍾

    林鍾長六寸

    舊法置林鍾長六寸為實上生者四因得二十四寸三歸得八寸為太蔟

    太蔟長八寸

    舊法置太蔟長八寸為實下生者二因得十六寸三歸得五寸而餘一命作三分寸之一為南呂

    南呂長五寸三分寸之一

    舊法置南呂長五寸以分母三通之得十五寸納分子之一共得十六寸上生者四因得六十四寸為實三因分母三得九為法除之得七寸而餘一命作九分寸之一為姑洗

    姑洗長七寸九分寸之一

    舊法置姑洗長七寸以分母九通之得六十三寸納分子之一共得六十四寸下生者二因得一百二十八寸為實三因分母九得二十七為法除之得四寸而餘二十命作二十七分寸之二十為應鍾

    應鍾長四寸二十七分寸之二十

    舊法置應鍾長四寸以分母二十七通之得一百○八寸納分子之二十共得一百二十八寸上生者四因得五百一十二寸為實三因分母二十七得八十一為法除之得六寸而餘二十六命作八十一分寸之二十六為蕤賓

    蕤賓長六寸八十一分寸之二十六

    舊法置蕤賓長六寸以分母八十一通之得四百八十六寸納分子之二十六共得五百一十二寸上生者四因得二千○四十八寸為實三因分母八十一得二百四十三為法除之得八寸而餘一百○四命作二百四十三分寸之一百○四為大呂

    大呂長八寸二百四十三分寸之一百○四

    舊法置大呂長八寸以分母二百四十三通之得一千九百四十四寸納分子之一百○四共得二千○四十八寸下生者二因得四千○九十六寸為實三因分母二百四十三得七百二十九為法除之得五寸而餘四百五十一命作七百二十九分寸之四百五十一為夷則

    夷則長五寸七百二十九分寸之四百五十一

    舊法置夷則長五寸以分母七百二十九通之得三千六百四十五寸納分子之四百五十一共得四千○九十六寸上生者四因得一萬六千三百八十四寸為實三因分母七百二十九得二千一百八十七為法除之得七寸而餘一千○七十五命作二千一百八十七分寸之一千○七十五為夾鍾

    夾鍾長七寸二千一百八十七分寸之一千○七十五舊法置夾鍾長七寸以分母二千一百八十七通之得一萬五千三百○九寸納分子之一千○七十五共得一萬六千三百八十四寸下生者二因得三萬二千七百六十八寸為實三因分母二千一百八十七得六千五百六十一為法除之得四寸而餘六千五百二十四命作六千五百六十一分寸之六千五百二十四為無射

    無射長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四舊法置無射長四寸以分母六千五百六十一通之得二萬六千二百四十四寸納分子之六千五百二十四共得三萬二千七百六十八寸上生者四因得十三萬一千○七十二寸為實三因分母六千五百六十一得一萬九千六百八十三為法除之得六寸而餘一萬二千九百七十四命作一萬九千六百八十三八刀寸之一萬二千九百七十四為仲呂

    仲呂長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千舊法置仲呂長六寸以分母一萬九千六百八十三通之得十一萬八千○九十八寸納分子之一萬二千九百七十四共得十三萬一千○七十二寸上生者四因得五十二萬四千二百八十八寸為實三因分母一萬九千六百八十三得五萬九千○四十九寸為法除之得八寸而餘五萬一千八百九十六命作五萬九千○四十九分寸之五萬一千八百九十六為黄鍾

    黄鍾長八寸五萬九千○四十九分寸之五萬一千八百九十六比黄鍾正律少五萬九千○四十九分寸之七千一百五十三

    已上諸律出於周禮註疏漢鄭康成之算術也

    其二出性理大全

    古法與蔡元定算法不同是故名為别法法雖不同而算出之數則同焉今並列之以便參考

    黄鍾長九寸

    舊法置黄鍾之率十七萬七千一百四十七為實以寸法一萬九千六百八十三除之得九寸

    别法置黄鍾長一尺為實九因一遍退位命作九寸

    林鍾長六寸

    舊法置林鍾之率十一萬八千○九十八為實以寸法一萬九千六百八十三除之得六寸

    别法置林鍾長六寸六分六釐六毫六絲六忽六微六纖為實九因一遍命作六寸

    太蔟長八寸

    舊法置太蔟之率十五萬七千四百六十四為實以寸法一萬九千六百八十三除之得八寸

    别法置太蔟長八寸八分八釐八毫八絲八忽八微八纖為實九因一遍命作八寸

    南呂長五寸三分

    舊法置南呂之率十萬○四千九百七十六為實以寸法一萬九千六百八十三除之得五寸餘六千五百六十一為實以分法二千一百八十七除之得三分共得五寸三分

    别法置南呂長五寸九分二釐五毫九絲二忽五微九纖為實九因一遍至寸位住得五寸又九因一遍至分位住得三分共得五寸三分

    姑洗長七寸一分

    舊法置姑洗之率十三萬九千九百六十八為實以寸法一萬九千六百八十三除之得七寸餘二千一百八十七為實以分法二千一百八十七除之得一分共得七寸一分

    别法置姑洗長七寸九分○一毫二絲三忽四微五纖為實九因一遍至寸位住得七寸又九因一遍至分位住得一分共得七寸一分

    應鍾長四寸六分六釐

    舊法置應鍾之率九萬三千三百一十二為實以寸法一萬九千六百八十三除之得四寸餘一萬四千五百八十為實以分法二千一百八十七除之得六分餘一千四百五十八為實以釐法二百四十三除之得六釐共得四寸六分六釐

    别法置應鍾長五寸二分六釐七毫四絲八忽九微七纖為實九因一遍至寸位住得四寸又九因一遍至分位住得六分又九因一遍至釐位住得六釐共得四寸六分六釐

    蕤賓長六寸二分八釐

    舊法置蕤賓之率十二萬四千四百一十六為實以寸法一萬九千六百八十三除之得六寸餘六千三百一十八為實以分法二千一百八十七除之得二分餘一千九百四十四為實以釐法二百四十三除之得八釐共得六寸二分八釐

    别法置蕤賓長七寸○二釐三毫三絲一忽九微六纖為實九因一遍至寸位住得六寸又九因一遍至分位住得二分又九因一遍至釐位住得八釐共得六寸二分八釐

    大呂長八寸三分七釐六毫

    舊法置大呂之率十六萬五千八百八十八為實以寸法一萬九千六百八十三除之得八寸餘八千四百二十四為實以分法二千一百八十七除之得三分餘一千八百六十三為實以釐法二百四十三除之得七釐餘一百六十二為實以毫法二十七除之得六毫共得八寸三分七釐六毫

    别法置大呂長九寸三分六釐四毫四絲二忽六微一纖為實九因一遍至寸位住得八寸又九因一遍至分位住得三分又九因一遍至釐位住得七釐又九因一遍至毫位住得六毫共得八寸三分七釐六毫

    夷則長五寸五分五釐一毫

    舊法置夷則之率十一萬○五百九十二為實以寸法一萬九千六百八十三除之得五寸餘一萬二千一百七十七為實以分法二千一百八十七除之得五分餘一千二百四十二為實以釐法二百四十三除之得五釐餘二十七為實以毫法二十七除之得一毫共得五寸五分五釐一毫

    别法置夷則長六寸二分四釐二毫九絲五忽○七纖為實九因一遍至寸位住得五寸又九因一遍至分位住得五分又九因一遍至釐位住得五釐又九因一遍至毫位住得一毫共得五寸五分五釐一毫

    夾鍾長七寸四分三釐七毫三絲

    舊法置夾鍾之率十四萬七千四百五十六為貴以寸法一萬九千六百八十三除之得七寸餘九千六百七十五為實以分法二千一百八十七除之得四分餘九百二十七為實以釐法二百四十三除之得三釐餘一百九十八為實以毫法二十七除之得七毫餘九為實以絲法三除之得三絲共得七寸四分三釐七毫三絲

    别法置夾鍾長八寸三分二釐三毫九絲三忽四微為實九因一遍至寸位住得七寸又九因一遍至分位住得四分又九因一遍至釐位位得三釐又九因一遍至毫位住得七毫又九因一遍至絲位住得三絲共得七寸四分三釐七毫三絲

    無射長四寸八分八釐四毫八絲

    舊法置無射之率九萬八千三百○四為實以寸法一萬九千六百八十三除之得四寸餘一萬九千五百七十二為實以分法二千一百八十七除之得八分餘二千○七十六為實以釐法二百四十三除之得八釐餘一百三十二為實以毫法二十七除之得四毫餘二十四為實以絲法三除之得八絲共得四寸八分八釐四毫八絲

    别法置無射長五寸五分四釐九毫二絲八忽九微五纖為實九因一遍至寸位住得四寸又九因一遍至分位住得八分又九因一遍至釐位住得八釐又九因一遍至毫位住得四毫又九因一遍至絲位住得八絲共得四寸八分八釐四毫八絲

    仲呂長六寸五分八釐三毫四絲六忽

    舊法置仲呂之率十三萬一千○七十二為實以寸法一萬九千六百八十三除之得六寸餘一萬二千九百七十四為實以分法二千一百八十七除之得五分餘二千○三十九為實以釐法二百四十三除之得八釐餘九十五為實以毫法二十七除之得三毫餘十四為實以絲法三除之得四絲餘二不盡共得六寸五分八釐三毫四絲餘二不盡

    别法置仲呂長七寸三分九釐九毫○五忽二微七纖為實九因一遍至寸位住得六寸又九因一遍至分位住得五分又九因一遍至釐位住得八釐又九因一遍至毫位住得三毫又九因一遍至絲位住得四絲又九因一遍至忽位住得六忽共得六寸五分八釐三毫四絲六忽

    已上諸律出於性理大全宋蔡元定之算法也

    論曰古人算律之妙二種而已一以縱黍之長為分九分為寸九寸為黄鍾凡八十一分取象雒書之九自相乘之數焉此淮南子之所載也一以横黍之廣為分十分為寸十寸為黄鍾凡一百分取象河圖之十自相乘之數焉此太史公之所記也二術雖異其律則同蓋縱黍之八十一分適當横黍之一百分耳本無九十分為黄鍾者也至於劉歆班固乃以九十分為黄鍾推原其誤蓋自京房始也房時去古未遠明知古法九分為寸以其布算頗煩初學難曉乃變九而為十恐人不曉其意故云不盈寸者十之所得為分此創始之辭也至歆則又以九分乘九十分得八百一十分命為黄鐘積實欲牽合於黄鍾一龠之數夫古歷法以二十九日九百四十分之四百九十九為朔餘算法除之得五十三刻有奇洛下閎以八十一分之四十三為朔餘算法除之亦得五十三刻有奇若以八百一十為法除之止得五刻有奇不滿朔餘之數是閎歷以八十一分為法取象黄鍾一龠之長非謂積實也則黄鍾决無長九十分積八百一十分之理矣淮南子太史公洛下閎此三人前漢律歷之學無出其右者皆謂黄鍾九寸即是八十一分世儒不信何也朱熹蔡元定始能表章九分為寸之法有功律學亦多但未勘破王莽劉歆班固之謬是猶有遺憾焉

    樂律全書卷四